Binary operator adalah tanda operasi biner, karena operator ini dignakan untuk mengoperasikan dua buah operand. Operand dapat berbentuk konstanta ataupun variabel. Operator ini digunakan untuk operasi aritmamtika yang berhubungan dengan nilai tipe data integer dan real.
Definisi Aljabar Boolean
Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara. Cara
yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur – unsur pembentuknya
dan operasi – operasi yang menyertainya.
(Definisi 2.1 – Menurut Lipschutz, Seymour & Marc Lars Lipson dalam
bukunya ‘2000 Solved Problems in Discrete Mathematics’, McGraw-Hill, 1992)
Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan ., dan
sebuah operator uner,’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Maka, tupel disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c 0 B
berlaku aksioma (sering dinamakan juga Postulat Huntington) berikut :
• Misalkan terdapat
- Dua operator biner: + dan
- Sebuah operator uner: ’.
- B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, , dan ’
- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel
(B, +, , ’)
disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure: (i) a + b B
(ii) a b B
2. Identitas: (i) a + 0 = a
(ii) a 1 = a
3. Komutatif: (i) a + b = b + a
(ii) a b = b . a
4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c)
(ii) a + (b c) = (a + b) (a + c)
5. Komplemen : (i) a + a’ = 1
(ii) a a’ = 0
• Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean dua-nilai:
- B = {0, 1}
- operator biner, + dan
- operator uner, ’
- Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
a b a b a b a + b a a’
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1. Closure : jelas berlaku
2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 0 = 0 1 = 0
3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
a b c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
(ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a a = 0, karena 0 0’= 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
Ekspresi Boolean
• Misalkan (B, +, , ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, , ’) adalah:
(i) setiap elemen di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
Contoh:
0
1
a
b
c
a + b
a b
a’ (b + c)
a b’ + a b c’ + b’, dan sebagainya
Mengevaluasi Ekspresi Boolean
• Contoh: a’ (b + c)
jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:
0’ (1 + 0) = 1 1 = 1
• Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh:
a (b + c) = (a . b) + (a c)
Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .
Penyelesaian:
a b a’ a’b a + a’b a + b
0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
• Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
(i) a(b + c) = ab + ac
(ii) a + bc = (a + b) (a + c)
(iii) a 0 , bukan a0
Sumber : http://syaifulmihaylov.wordpress.com/2011/09/28/pengertian-al-jabar-boolean/
Tidak ada komentar:
Posting Komentar